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仰るとおり、コイル径が小さくなるとばね定数が大きくなり、応力も小さくなります。
コイル径(以下D)が大きくなると荷重(以下P)の計算値にも関わり、Dの変化はPに及ぼす影響の方が大きいため、Dが大きくなるとPが減少し、結果的に応力は小さくなります。
具体的には、P=δkであり、k=Gd^4/8NaD^3であるため、Dが大きくなった時は、ばね定数kの式に含まれるD^3が分母にあることから、ばね定数が小さくなり、同たわみ量における荷重値が小さくなり、結果として応力が小さくなります。
よろしくおねがいします!