ばね定数といえば，k[N/mm]や[N/m]ですが，これがk・・・

ご質問いただきありがとうございます。
ご質問の内容について、理解が間違っていたら申し訳ありませんが、以下のように解釈して回答します。
荷重はF、たわみはxとします。
ばね定数kは、荷重がF=k*xの一次関数(線形特性)で表記できた場合のxの係数。
ばね定数k’は、荷重がF=k’x^2+kxの二次関数(非線形特性)で表記できた場合のx^2の係数。
ばね定数k”は、荷重がF=k”x^3+k’x^2+kxの三次関数(非線形特性)で表記できた場合のx^3の係数。

つまり、上記のように荷重とたわみの関係が、線形特性(一次関数)だけでなく、二次関数や三次関数で表されるような非線形特性が存在するかというご質問かと思います。
皿ばねの荷重とたわみの関係は、三次関数で記載されるためx^3の係数であるk”は存在します。
しかしながら、荷重とたわみの関係が2次関数になっているばねの計算式について、私の知る限り
見たことがありません。

上記の認識ではなく、例えばk’が、引張試験時の応力とひずみの関係を示すヤング率(縦弾性係数)でだったりするような、何らかの比例定数のことを指しているといった内容の質問だった場合は、お手数ですが再度質問願います。